DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA, ASIMETRÍA Y CURTOSIS

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA 

En estadística, se le llama distribución de frecuencias a la agrupación de datos en categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en cada categoría. Esto proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase.

Las frecuencias pueden ser:

2.1 FRECUENCIA ABSOLUTA (fi): Es el número de veces que se repite un determinado valor de la variable (xi).

Se designa por fi. PROPIEDAD: la suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de observaciones (n).

2.2 FRECUENCIA ACUMULADA (Fi): Las frecuencias acumuladas de una distribución de frecuencias son aquellas que se obtienen de las sumas sucesivas de las fi que integran cada una de las filas de una distribución de frecuencia, esto se logra cuando la acumulación de las frecuencias se realiza tomando en cuenta la primera fila hasta alcanzar la última.

Las frecuencias acumuladas se designan con las letras Fi. Se calcula: ∑ = − +== i j i iij fFfF 1 1 PROPIEDAD: La última frecuencia acumulada absoluta es igual al total de observaciones.

2.3 FRECUENCIA RELATIVA (hi): Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias absolutas entre el número total de datos. Las frecuencias relativas se designan con las letras hi.

PROPIEDAD: la suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.

 2.4 FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Hi): Es aquella que resulta de dividir cada una de las frecuencias acumuladas entre número total de datos. Se designa con las letras Hi .  

PROPIEDAD: La última frecuencia relativa acumulada es la unidad.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

Es la representación estructurada en forma de tabla de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia, es decir, es una tabla que presenta de manera ordenada los distintos valores de una variable y sus correspondientes frecuencias.

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS AGRUPADAS

 Es aquella distribución en la que la disposición tabular de los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia en cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase. No existen normas establecidas para determinar cuándo es apropiado utilizar datos agrupados o datos no agrupados; sin embargo, se sugiere que cuando el número total de datos (N) es igual o superior 50 y además el rango o recorrido de la serie de datos es mayor de 20, entonces, se utilizará la distribución de frecuencia para datos agrupados, también se utilizará este tipo de distribución cuando se requiera elaborar gráficos lineales como el histograma, el polígono de frecuencia o la ojiva. La razón fundamental para utilizar la distribución de frecuencia de clases es proporcionar mejor comunicación acerca del patrón establecido en los datos y facilitar la manipulación de los mismos. Los datos se agrupan en clases con el fin de sintetizar, resumir, condensar o hacer que la información obtenida de una investigación sea manejable con mayor facilidad. Al agrupar los datos en una distribución de frecuencia de clase se pierde parte de la información. La reducción o agrupamiento a que son sometidos los datos de una serie de valores cuando existen muchos valores diferentes, originan los denominados errores de agrupamiento; sin embargo, estos errores son en general muy pequeños, razón por la cual la distribución de frecuencia de clase tiene una validez estadística práctica.

Para agrupar los datos en intervalos de clase se deben seguir las siguientes reglas generales:

• El número de intervalos de clase se toma entre 5 y 15 dependiendo de los datos.

• Cada observación debe estar incluida en una y solo una clase o intervalo.

• El valor más pequeño y más grande deben entrar en la clasificación.

• No deben existir brechas o vacíos entre clases sucesivas.

 • Los intervalos no se deben sobreponer.

 • En la medida de lo posible, se debe utilizar la misma amplitud para todos los intervalos.

COMPONENTES DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE CLASES

1.- Clase o Intervalo de clase.- Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes. Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande. Un número de clases pequeño puede ocultar la naturaleza natural de los datos y un número muy alto puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en la investigación. A las fronteras del intervalo, la llamaremos, límites inferior y superior de la clase y los denotaremos por Li-1, Li.

2.- Punto medio o Marca de clase ( X& ).- Es la semisuma del límite inferior y superior de una clase.

3.- Amplitud, Longitud o Tamaño del Intervalo.- Los intervalos de clases pueden ser de tres tipos: Clases de igual tamaño, clases de tamaños desiguales y clases abiertas. En términos generales, las clases de igual tamaño son los más utilizados y recomendados para los cálculos estadísticos. Se designa por las letras Ic.

Nota: Al número de observaciones de una clase se le llama frecuencia de clase, si dividimos esta frecuencia por el número total de observaciones, se llama frecuencia relativa de clase, y del mismo modo que lo hacíamos para datos sin agrupar definiríamos Hi, y Fi.

 PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADA EN INTERVALOS

1. Determinar el máximo y mínimo entre los valores que tenemos en la muestra y calcular el recorrido de la variable o rango.

 2. Calcular el número de clases a utilizar. Existen diversos criterios para determinar el número de clases, ante tanta diversidad de criterios, se ha considerado que lo más importante es dar un ancho o longitud de clases a todos los intervalos de tal manera que respondan a la naturaleza de los datos y al objetivo que se persigue y esto se logra con la práctica.

Existe una forma para determinar el número de clases y la misma puede ilustrarse en el siguiente cuadro: Numero de Datos Numero de Intervalos 10 - 100 De 4 a 8 100 - 1.000 De 8 a 11 1.000 - 10.000 De 11 a 14

Cuando se tenga dudas en determinar el número de intervalos de clases, es de gran utilidad utilizar el método sugerido por Hebert A. Sturges, el cual establece que: K= 1+3,322 log(n) = número de intervalos. En este curso se utilizará este método siempre y cuando el mismo sea aplicable.

MÉTODOS GRÁFICOS

 La forma de la distribución de frecuencias se percibe más rápidamente si la representamos gráficamente. Se resume la información de la muestra de forma gráfica con fines clarificadores o para enfatizar y descubrir determinadas características que de otra manera seria muy difícil de apreciar. Un gráfico siempre es más inmediato de comprender que un conjunto de datos estadísticos. Las representaciones graficas varían según el tipo de variable: a. Gráficos para variables Discretas y Categóricas DIAGRAMA DE BARRAS: Es la representación gráfica usual para variables cuantitativas discretas o para variables cualitativas. En el eje de ordenadas representamos los diferentes valores de la variable (xi). Sobre cada valor levantamos una barra de altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa). Ejemplo: 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.

DIAGRAMA DE SECTORES O DE PASTEL:

 Es el más usual en variables cualitativas. Se representan mediante círculos. A cada valor de la variable se le asocia el sector circular proporcional a su frecuencia. Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a una encuesta referente a elecciones locales de un partido político: xi fi a favor 50% en contra 40% abstención 10% Para construir el diagrama de sectores partimos del hecho de que un circulo encierra un total de 360 grados. Luego, mediante una regla de tres simple, repartimos los 360 grados en distintos sectores, de acuerdo con cada porcentaje; tenemos así que para determinar el sector correspondiente al 50%.

ASIMETRÍA 

Es una medida de forma de una distribución que permite identificar y describir la manera como los datos tiende a reunirse de acuerdo con la frecuencia con que se hallen dentro de la distribución. Permite identificar las características de la distribución de datos sin necesidad de generar el gráfico.

TIPOS DE ASIMETRÍA

La asimetría presenta las siguientes formas:

Asimetría Negativa o a la Izquierda.- Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte izquierda de la media. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la izquierda, es decir, la distribución de los datos tiene a la izquierda una cola más larga que a la derecha. También se dice que una distribución es simétrica a la izquierda o tiene sesgo negativo cuando el valor de la media aritmética es menor que la mediana y éste valor de la mediana a su vez es menor que la moda, en simbolos 

Nota: Sesgo es el grado de asimetría de una distribución, es decir, cuánto se aparta de la simetría.

Simétrica.- Se da cuando en una distribución se distribuyen aproximadamente la misma cantidad de los datos a ambos lados de la media aritmética. No tiene alargamiento o sesgo. Se representa por una curva normal en forma de campana llamada campana de Gauss (matemático Alemán 1777-1855) o también conocida como de laplace (1749-1827).También se dice que una distribución es simétrica cuando su media aritmética, su mediana y su moda son iguales, en símbolos Md=Mo

Asimetría Positiva o a la Derecha.- Se da cuando en una distribución la minoría de los datos está en la parte derecha de la media aritmética. Este tipo de distribución presenta un alargamiento o sesgo hacia la derecha, es decir, la distribución de los datos tiene a la derecha una cola más larga que a la izquierda.

También se dice que una distribución es simétrica a la derecha o tiene sesgo positivo cuando el valor de la media aritmética es mayor que la mediana y éste a valor de la mediana a su vez es mayor que la moda, en símbolos .

CURTOSIS O APUNTAMIENTO

La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una distribución con relación a la distribución normal, es decir, mide cuán puntiaguda es una distribución.
2.1) TIPOS DE CURTOSISLa curtosis determina el grado de concentración que presentan los valores en la región central de la distribución. Así puede ser:
Leptocúrtica.- Existe una gran concentración.
Mesocúrtica.- Existe una concentración normal.
Platicúrtica.- Existe una baja concentración.